ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ä Œμ Ìμ. ±É- É Ê ± μ Ê É Ò Ê É É, ±É- É Ê, μ Ö

Transcript

1 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ä744 ˆ Œˆ ƒ Š Œ ˆ Œˆ ˆŸ ˆ ˆ ˆŸ ˆˆ ƒ ˆ Šˆ ˆ.. Œμ Ìμ ±É- É Ê ± μ Ê É Ò Ê É É, ±É- É Ê, μ Ö ±μ³ ² ± ÒÌ ³μ ʲÖÌ Ð É Ò³ ² ³ Š² ËËμ Î É μ - ³ μ É Ò Ë ³ μ Ò ³ Ò Å ²μ ÉÉ. Ì μ μ μ É μ Ò ³ É Ò ³ μé ÉÒ, Ö ²ÖÕÐ Ö Ô± ² É Ò³ ±² ËËμ μ Ò³ ±Êʳ ³. μ± μ, ÎÉμ ³μ ʲ ² ±² Ò ÕÉ Ö Ö³Ò Ê³³Ò ³ ³ ²Ó- ÒÌ ² ÒÌ ²μ, μ μ ³ÒÌ ÔÉ ³ ³ μé É ³, ÎÉμ Ë ³ μ Ò ³ - Ò ³μ ÊÉ ³ É ÉÓ Ö ± ± ³ É ³ É Î ± μ Ñ ±ÉÒ, μ² ËÊ ³ É ²Ó Ò, Î ³ μ Ò. We introduced fermionic variables in complex modules over real Clifford algebras of even dimension which are analog of the Witt basis. We built primitive idempotents which are a set of equivalent Clifford vacuums. It is shown that the modules are decomposed into direct sum of minimal left ideals generated by these idempotents and that the fermionic variables can be considered as more fundamental mathematical objects than spinors. PACS: Kk ³μÉ ³ ±μ³ ² ± Ò ³μ Ê²Ó Ð É μ ² μ Š² ËËμ Î É μ ³ μ É n =2m ÉÊ Ò (p, q), n = p + q. μ Ó ³ e α Éμ μ ² Ò m μ μ: e 1 e 2, e 3 e 4,...,e 2m 1 e 2m. ³ ² Î Ò s α =1 (e α ) 2 =1, s α = i (e α ) 2 = 1. μ (s α ) 2 =(e α ) 2. ÔÉμ³ {e α,e β } =(s α ) 2 δβ α. Ó ², ±²ÕÎ ³ Ëμ ³Ê²Ò (4), μ μ Éμ ÖÕÐ ³ Ö ± ³ É Ê³³ μ Ö. ³ ³ Ò E α É ±, ÎÉμ e α = s α E α, E α =(s α ) 1 e α, (E α ) 2 =1 ²Ö Ì Î α, ³ Ò θ α θ α, ±μéμ Ò ³Ò Ê ³ Ò ÉÓ Ë ³ μ Ò³ : θ α = E 2α 1 ie 2α 2, θα = E 2α 1 + ie 2α. (1) 2 v.v.monahov@spbu.ru

2 ˆ Œˆ ƒ Š Œ ˆ Œˆ 741 ˆ (1) ² Ê É, ÎÉμ (θ α ) 2 =( θ α ) 2 =0, {θ α, θ β } = δβ α. ±μ³ ² ± ÒÌ ² Ì Š² ËËμ Cl(2m) ² Î Ò, ²μ Î Ò θ α θ α, Ò ÕÉ Ö - μ³ ÉÉ [1, 2]. μ ÉÉ μ Ê É Ö μ³μðóõ μ Éμ μ ²Ó ÒÌ Ð, Ë ³ μ Ò ³ Ò Å μ³μðóõ μμ Éμ μ ²Ó ÒÌ, μì ÖÕÐ Ì (e α ) 2 ²Ö Ì α. Œ É Î Ò É ² Ö θ α θα Ë ³ μ ÒÌ ³ ÒÌ( θ α ) θ α 0 0 É μöé Ö μ μ (1) ³³ -³ É Í. ²Ö μ μ Ò ÔÉμ 1 0 ( ) 0 1. ²Ö μ² Ò μ± Ì ³ μ É ² Š² ËËμ μ²ó Ê ³ 0 0 ² μ ɳ [2] μ É μ Ö ³³ -³ É Í μ É É Ì μ² Ò μ±μ - ³ μ É μ μ Ö³μ μ μ Ö ³ É Í 2 2. ±ÊÕ Ëμ ³Ê ³ É Í Ë ³ μ ÒÌ ³ ÒÌ μ ³ ± μ Î ±μ. ² Î ± μ Ò Å Ô² ³ ÉÒ ² μ μ ², μ²êî ÕÐ μ Ö Ê²ÓÉ É Ê³ μ Ö Ô² ³ Éμ ±² ËËμ μ μ É É ³ É Ò ³ μé É. ± Î É É ±μ μ ³ μé É μ²ó Ê ³ I V = θ 1 θ 1 θ2 θ 2 θ m θ m. (2) μ ±μ²ó±ê (I V ) 2 = ( θ 1 θ 1 ) 2 ( θ 2 θ 2 ) 2 ( θ m θ m ) 2 = I V, Éμ I V Å É - É ²Ó μ ³ μé É. Œ μ É ² θ α θ α (2) ±μ³³êé ÊÕÉ Ô ³ Éμ μ- μ Ö Ò, μôéμ³ê ( θ 1 θ 1 θ 2 θ 2 θ m θ m ) + = ( θ m θ m ) ( θ 2 θ 2 )( θ 1 θ 1 ) = θ 1 θ 1 θ 2 θ 2 θ m θ m, É.. μ Ô ³ Éμ μ- μ Ö Ò, I + V = I V. μ± ³, ÎÉμ I V ³ É. Ê ÉÓ ÔÉμ É ± I V μ Éμ É Ê³³Ò μ Éμ μ ²Ó ÒÌ ³- μé Éμ I V = I 1 + I 2, (I 1 ) 2 = I 1, (I 2 ) 2 = I 2, I 1 I 2 = I 2 I 1 =0. μ I 1 I V = I 1 (I 1 +I 2 )=I 1, I V I 1 =(I 1 +I 2 )I 1 = I 1. ÔÉμ³ θ k I 1 = θ k I V I 1 =0, É.. θ k I 1 =0 ²Ö ± μ μ k. Ê ÉÓ I 1 = A 1 + θ k A 2, A 1 A 2 ÅÔ² ³ ÉÒ ³μ ʲÖ, μ Ð ³μ μ³μ Ô² ³ Éμ³ θ k, ³μ μ³ Ì Ô² ³ - ÉÒ θ j μ²μ Ò ² μé θ l. μ θ k I 1 =0 ² Ê É, ÎÉμ θ k A 1 =0,ÎÉμ μ ³μ μ Éμ²Ó±μ A 1 =0. ² μ É ²Ó μ, I 1 = θ k A 2. Éμ μ ²Ö ± - μ μ k, μôéμ³ê I 1 = θ 1 θ2 θ m B, B Å Ô² ³ É ² Ò, μ Ð ³μ μ³μ Ô² ³ É ³ θ k. μ ±μ²ó±ê I 1 I V = I 1, Éμ I 1 θ k = I 1 I V θ k =0, I 1 θ k =0 ²Ö ± μ μ k, ³Ò μ²êî ³, ÎÉμ I 1 = c 1 θ1 θ2 θ m θ 1 θ 2 θ m, c 1 Å ±μ³ ² ± Ö ±μ É É. μ ÉÓ I 1 μé² Î É Ö μé I V Éμ²Ó±μ Î ²μ- Ò³ ±μôëë Í Éμ³ c 1. ²ÖI 2 μ²êî ³ Éμ, μ ±μôëë Í Éμ³ c 2.ˆ μ Éμ μ ²Ó μ É I 1 I 2 ² Ê É c 1 c 2 =0,É..² μi 1 =0,² μi 2 =0. μ²êî ³ μé μ Î. ² μ É ²Ó μ, ³ μé É I V ³ É. Œ É Î μ É ² μ μ ³ μé É Å ± É Ö ³ É Í 2 m 2 m Í ² μ³ Ì ³ Ê ²Ê. Ê ³ Ò ÉÓ ÔÉμ É ² - ± μ Î ± ³. μ ³Ê ³ μé É I V (2) É ± Ê ³ Ò ÉÓ ± μ Î ±μ.

3 742 Œ.. μ± ³, ÎÉμ ³ É ³μ³ ³μ ʲ Ô ³ Éμ Ò ³ É Ò ³ μé ÉÒ Ô± ² É Ò I V, Î ³ μ³μ Ë Ò μμé É É ÊÕÐ ³ Ê Ò Š² ËËμ, μ Ò μ É É. Ê ÉÓ ³ É Ö Ô ³ Éμ Ò ³ É Ò ³ μé É I. ³μÉ ³ μ ³ É Î μ É ², ±μéμ Ò³ μ ³μ μ μéμ É ÉÓ ±μ ± É μ³ Ò μ ³ É Î μ μ - É ² Ö ÒÌ ±² ËËμ μ ÒÌ ±Éμ μ. Õ Ö Ô ³ Éμ ³ É Í A μ É Ö ± μ ²Ó μ Ëμ ³ μ μ ³ Ô± ² É μ É μ- ³μÐÓÕ ±μéμ μ Ê É μ ³ É ÍÒ. ³ ³ É ÍÊ I ± μ ²Ó μ Ëμ ³ É ± ³ μ μ ³ S 1 IS 1 1 μ³μðóõ ±μéμ μ ³ É ÍÒ S 1. μ ±μ²ó±ê I 2 = I, Éμ ÔÉμ μ ² ³μ ÊÉ Ìμ ÉÓ Ö Éμ²Ó±μ ÍÒ Ê². ² μé² Î μé Ê²Ö μ²óï Î ³ μ Ô² ³ É I i,i, Éμ ²μ ³ ³ É ÍÊ I ² ³Ò M i, I = M i, ±μéμ ÒÌ Ê M i ʲ Ò³ Ö ²Ö É Ö i Éμ²Ó±μ μ Ô² ³ É, ÉμÖÐ μ ² μ Í ± μ³ i, i, μμé É É ÊÕРʲ μ³ê Ô² ³ ÉÊ I i,i. Î μ, ÎÉμ M i M j = M j M i =0 i j Mi 2 = M i. ² μ É ²Ó μ, Ô² ³ ÉÒ M i Ö ²ÖÕÉ Ö ³ μé - É ³. μôéμ³ê ³ μé É I ±² Ò É Ö Ê³³Ê ʲ ÒÌ μ Éμ μ ²Ó- ÒÌ ³ μé Éμ μ ³μ É ÒÉÓ ³ É Ò³. μ²êî ² μé μ- Î. ² μ É ²Ó μ, μ ² Ö ³ É ÍÒ ³ É μ μ Ô ³ Éμ μ μ ³ μé É ± μ ²Ó μ Ëμ ³ μ ² ³ É Ö Éμ²Ó±μ μ ʲ μ Ô² ³ É Å Í. Ê ÉÓ ± ÔÉμ μ Ô² ³ É i, i. μ - μ Ô± ² É μ É μ³μðóõ ³ É ÍÒ S 2, Ê ±μéμ μ (S 2 ) i,i = 0, μ É ²Ó Ò μ ²Ó Ò Ô² ³ ÉÒ (S 2 ) j,j =1 j i, μ ²Ó Ò Ô² ³ ÉÒ (S 2 ) 1,i =(S 2 ) i,1 =1, (S 2 ) j,k =0, j i, k i, μ É Ò μ ²Ó Ò Ô² ³ É ³ Éμ ± μ³ 1,1 μì ³ μ É ²Ó ÒÌ Ô² ³ Éμ ³ É ÍÒ ³ μé É, Ò³ ʲÕ. μôéμ³ê ³ É Í ²Õ μ μ ³ É μ μ Ô ³ Éμ ³ μé É ³μ É ÒÉÓ ± ± μ Î ±μ Ëμ ³. ÔÉμ³ ³ ³ μé É μ ² Ò³ μ μ Ö³ μ- É Ö ³ μé É I = S 2 S 1 IS 1 1 S 1 2. ± Ö ³ É Í Ĩ ³ μé É I ³μ É ÒÉÓ É ² μ Ö Ĩ = θ 1 θ 1 θ 2 θ 2 θ m θ m m ³ É Í θ α θ α ± μ Î ±μ Ëμ ³, μμé É É ÊÕÐ Ì Ô² ³ É ³ θ α θ α. ² μ É ²Ó μ, μμé É É ÊÕÐ É μ ² μ ²Ö Ô² ³ Éμ ² Ò Š² ËËμ, É ² Ö³ ±μéμ ÒÌ ²Ê É Ò ³ É ÍÒ: I = θ 1θ 1 θ 2 θ 2 θ mθ m. (3) ³ ² Î Ò e 2α 1 = s 2α 1 (θ α + θ α), e 2α = is 2α (θ α θ α). μ- ±μ²ó±ê ²Ö ² Î e k, e l Ò μ² ÖÕÉ Ö É μμé μï Ö {e k,e l } = (s k ) 2 δl k, ÎÉμ μμé μï Ö {e k,e l } =(s k ) 2 δl k ²Ö e k, e l, μ μ μ Ð μ É μ ³ ʲ [3] É Ö É Ò Ê ³μ Ê²Ö Ò Ô² ³ É S, μ - Î ÕÐ μ μ Ô± ² É μ É e k = Se ks 1. μ ÔÉμ μ μ ² Ò Š² ËËμ Ò³ ±Éμ ³ e k μ³μ Ë ÊÕ ² Ê Š² ËËμ Ò³ ±Éμ ³ e k. μôéμ³ê ³ μé É (3) Å

4 ˆ Œˆ ƒ Š Œ ˆ Œˆ 743 ÔÉμ ³ μé É ± μ Î ±μ Ëμ ³ (2) ± μ Î ±μ Ëμ ³μ μ ³ - É Î μ μ É ² Ö. ± ³ μ μ³, ²Ö μ μ²ó μ μ Ô ³ Éμ μ μ - ³ É μ μ ³ μé É I É Ö Ò μ Ò Ê ³μ Ê²Ö Ò Ô² ³ É ² Ò S, μ³μðóõ ±μéμ μ μ μ ÊÐ É ²Ö É Ö μ μ Ô± ² É- μ É, μ ÖÐ μ ³ μé É I V ± μ Î ±μ Ëμ ³ (2). μ ÉÓ ³ É ³μ³ ³μ ʲ Ô ³ Éμ Ò ³ É Ò ³ μé ÉÒ Ô± - ² É Ò I V. μ² Éμ μ, μ ±μ²ó±ê μ μ Ô± ² É μ É - μ É Ò ±² ËËμ μ Ò ±Éμ Ò μ Î ²Ó μ ² Ò Ò ±² ËËμ μ Ò ±Éμ Ò μ³μ Ë μ ±² ËËμ μ μ ² Ò, ÔÉ Ì ²- Ì μ³μ Ë Ò ± ± Ê Ò Š² ËËμ, É ± μ Ò μ É É, μμé É É ÊÕÐ ÔÉ ³ Ê ³ ³ μé É ³, ÎÉμ μ± Ò É ÊÉ -. É I V (2) ² Î Ò θ α ²Ê É μ Éμ ³ μ - Ö, θ α Å μ Éμ ³ Ê ÎÉμ Ö, I V ²Ê É ²Ö Ì ±² ËËμ μ Ò³ ±Êʳμ³. μé [1] μ± μ, ÎÉμ ±μ³ ² ± Ö ² Cl(2m) ²μ ³ Ö³ÊÕ Ê³³Ê 2 m ³ ³ ²Ó ÒÌ ³ μ μ Éμ μ ²Ó ÒÌ ² ÒÌ ²μ, μ- μ ³ÒÌ μ³ ÉÉ. ±μ³ ² ± μ³ ³μ ʲ Ð É μ ²- μ Š² ËËμ μ Ê É ³μ ²μ Î μ ²μ μ²ó μ ³ Ë ³ μ ÒÌ ³ ÒÌ. Ê ÉÓ K α = θ α θ α Kα = θα θ α. μ ±μ²ó±ê K α + Kα =1, ³ ³ (K α + Kα )=1, ²μ μ α=1,...,m Ö Ê³³Ê ² ³ÒÌ μ²êî ³ I i =1, I 1 = K 1 K 2 K m, i=1,...,2 m I 2 = K1 K 2 K m, I 3 = K 1 K2 K m É.. ± μ³ ² ³ÒÌ I i m ³ μ É ², ± Î É ±μéμ ÒÌ Ò ÉÊ ÕÉ ² μ K α, ² μ Kα, É.. É ± μ m μ Í. μ ±μ²ó±ê K α Kα = Kα K α = 0, I i I j = I j I i =0 i j (I i ) 2 = I i. μ ÉÓ ÔÉμ μ μ Éμ μ ²Ó ÒÌ ³ μé Éμ. μ ±μ²ó±ê I 1 = I V, Ò ³ μé É ³ É Ò. I i μ³μ Ë Ò μé² Î ÕÉ Ö Éμ²Ó±μ ³ μ θ α θ α μμé É É ÊÕÐ, μôéμ³ê μ É ± ³ É Ò. ² μ É ²Ó μ, ²Ò, μ μ Ò Ì μ³μðóõ μ ÊÕÐ ²μ ³μ Ê²Ö μ Éμ μ ²Ó Ò μ É É μ μ, ³ ³ ²Ó Ò, ÎÉμ Ï É μ± É ²Ó É μ. Š Ò 2 m ³ μé Éμ I i Ö ²Ö É Ö ±² ËËμ μ Ò³ ±Êʳμ³, - μ ³Ò³ ± ± μ Î ±μ³ê Ê (2) μ μ ³ μ μ Ö. ±μ μ - μ ³ μ ± ± μ Î ±μ³ê Ê ³μ É ÒÉÓ Éμ²Ó±μ μ 2 m ±² ËËμ μ ÒÌ ±Êʳμ. Éμ μ É ± μ Ìμ ³μ É μ μ ³ μ - ³ É ÉÓ μ, Ê ±μ²ó±μ ±Êʳμ. μ²μ ±² ËËμ - μ ÒÌ ±ÊÊ³μ ³μ Ê²Ö μ μ Í Éμ É θ 1 θ 1, ²Ö Ì θ 1 Ê É ²Ê ÉÓ μ Éμ μ³ μ Ö, θ1 Å μ Éμ μ³ Ê ÎÉμ Ö, μ É ²Ó- ÒÌ θ 1 Å μ Éμ μ Ö, θ 1 Å μ Éμ Ê ÎÉμ Ö. ± ³ μ μ³, ÒÎ Ò É ² Ö μ μ μ Î μ É μ² μ Éμ μ Ö ²

5 744 Œ.. Ê ÎÉμ Ö, ³ ³Ò μ μ³ ±² ËËμ μ μ³ ±Êʳ, μ Ìμ ³μ - ³ ÉÓ μ² ²μ Ò. ³ É Î μ³ É ² ³μ Ê²Õ μμé É É Ê É ± É Ö ³ É Í 2 m 2 m, ± μ³ê μ ÒÌ μ É É, μ μ ÒÌ ±² ËËμ μ Ò³ ±Êʳμ³, Å Éμ² Í ÔÉμ ³ É ÍÒ, ³μ³Ê ±² ËËμ μ Ê ±ÊÊ³Ê ÔÉμ³ Éμ² Í μμé É É Ê É Î Ò Ô² ³ É, ÉμÖÐ μ ² ³ É ÍÒ ³μ ʲÖ. μ μ²ó Ò Ô² ³ É Ψ ², μ μ μ μ μ³μðóõ I 1,³μ- É ÒÉÓ É ² Ψ=(ψ 0 + ψ k1 θ k1 + ψ k1,k 2 θ k1 θ k2 + ψ k1,k 2,k 3 θ k1 θ k2 θ k ψ 1,2,3,...,m θ 1 θ 2 θ m )I V, (4) μ μ Éμ ÖÕÐ ³ Ö ± ³ É Ê³³ μ, ψ 0,ψ k1,ψ k1,k 2,..., ψ k1,k 2,...,k m Å Î ²μ Ò ±μôëë Í ÉÒ, μ ÊÕÐ Ö ± ± ±μ³ μ ÉÒ μ. ² ³ ÉÒ ²μ Ö (4) ²Ó Ö Î É ÉÓ μ²ó-î É Î Ò³, μ μ- Î É Î Ò³ É.. μ Ö ²ÖÕÉ Ö ±μ³ μ É ³ μ μî É Î μ μ μ ÉμÖ- Ö Å μ. ²Ö μ É ²Ó ÒÌ ²μ ²μ Ö ²μ Î Ò ³ μ ³ μ θ k θ k ²Ö μμé É É ÊÕÐ μ k. ˆ 2 m ² ÒÌ ² ³μ ʲÖ, μ μ- ÒÌ ³ μé É ³ I i, ³μ μ μ μ É ÉÓ 2 m Ë ³ μ ³. ± ³ μ μ³, μ³μðóõ Ë ³ μ ÒÌ ³ ÒÌ ³μ μ μ É μ ÉÓ ±² ËËμ μ Ò ±ÊʳÒ, ±Éμ Ò μ ÉμÖ Ö Ë ³ μ μ μ ÊÕÐ ±² Ë- Ëμ μ μ ² Ò. μôéμ³ê Ë ³ μ Ò ³ Ò ³μ ÊÉ ³ É ÉÓ Ö ± ± μ² ËÊ ³ É ²Ó Ò ³ É ³ É Î ± μ Ñ ±ÉÒ, Î ³ μ Ò. ˆ Š ˆ 1. Brackx F. et al. Fundaments of Hermitean Clifford Analysis. Part I: Complex Structure // Complex Anal. Oper. Theory V. 1, No. 3. P. 341Ä Budinich P. From the Geometry of Pure Spinors with Their Division Algebras to Fermion Physics // Found. Phys V. 32, No. 9. P. 1347Ä Shirokov D. S. Pauli Theorem in the Description of n-dimensional Spinors in the Clifford Algebra Formalism // Theor. Math. Phys V. 175, No. 1. P. 454Ä474.